Graficacion 3D
El término gráficos 3D (o por ordenador) se refiere a trabajos de arte
gráfico que son creados con ayuda de computadoras y programas especiales. En general, el término
puede referirse también al proceso de crear dichos gráficos, o el campo de
estudio de técnicas y tecnología relacionadas con los gráficos tridimensionales.
Un gráfico 3D difiere de uno bidimensional principalmente por la forma en que ha
sido generado. Este tipo de gráficos se originan mediante un proceso de
cálculos matemáticos sobre entidades geométricas tridimensionales producidas en
un ordenador, y cuyo propósito es conseguir una proyección visual en dos
dimensiones para ser mostrada en una pantalla o impresa en papel.
La representación de los objetos en tres dimensiones sobre
una superficie plana, de manera que
ofrezcan una sensación de volumen se
llama Perspectiva. Se representan
los objetos sobre tres ejes XYZ. En el eje Z,
se representa la altura. En el eje Y, se representa la anchura y en el
eje X, se representa la longitud.
Representación de objetos en 3D
Los distintos tipos
de perspectivas dependen de la inclinación de los planos Los sistema más utilizados son la
isométrica, la caballera y la cónica.
Estudiaremos en este curso las dos primeras.
Perspectiva Isométrica. En ella los ejes quedan separados
por un mismo ángulo (120º). Las medidas
siempre se refieren a los tres ejes que tienen su origen en un único punto.
Perspectiva Caballera. En ella los ejes X y Z tienen un ángulo de 90º y el eje Y con respecto a Z tiene una inclinación
de 135º. En es te caso las medidas en los ejes X y Z son las reales y las del
eje Y tiene un coeficiente de reducción
de 0.5.
DIBUJAR EN
PERSPECTIVA
En ambas perspectivas, el sistema más sencillo es llevar las
tres vistas principales sobre los planos
formados por los ejes:
Alzado en el
plano XZ.
Planta en el
plano XY.
Perfil en el
plano YZ.
Cada una de las aristas que forman las vistas se prolonga
paralelamente al eje que corresponda:
Horizontal
paralelo al eje de las X.
Vertical paralelo
al eje de las Z.
Profundidad
paralelo al eje de las Y
Las coordenadas oculares se sitúan en el punto de vista del
observador, sin importar las transformaciones que tengan lugar. Por tanto,
estas coordenadas representan un sistema virtual de coordenadas fijo usado como
marco de referencia común.
Transformaciones
Las transformaciones son las que hacen posible la proyección
de coordenadas 3D sobre superficies 2D. También son las encargadas de mover,
rotar y escalar objetos.
El modelador
En esta sección se recogen las transformaciones del
observador y del modelado puesto que, como se verá en el apartado, constituyen,
al fin y al cabo, la misma transformación.
Transformaciones del
observador
La transformación del observador es la primera que se aplica
a la escena, y se usa para determinar el punto más ventajoso de la escena. Por
defecto, el punto de vista está en el origen (0,0,0) mirando en dirección
negativa del eje z. La transformación del observador permite colocar y apuntar
la cámara donde y hacia donde se quiera.
Transformaciones del
modelo
Estas transformaciones se usan para situar, rotar y escalar
los objetos de la escena. La apariencia final de los objetos depende en gran
medida del orden con el que se hayan aplicado las transformaciones.
Transformaciones de
la proyección
La transformación de
proyección se aplica a la orientación final del modelador. Esta proyección
define el volumen de visualización y establece los planos de trabajo
Los dos tipos de
proyección más utilizados son la ortográfica y la perspectiva, que veremos más
adelante.
Transformaciones de la vista
En el momento en que
se ha terminado todo el proceso de transformaciones, solo queda un último paso:
proyectar lo que hemos dibujado en 3D al 2D de la pantalla, en la ventana en la
que estamos trabajando.
Matrices
Las matemáticas que
hay tras estas transformaciones se simplifican gracias a las matrices. Cada una
de las transformaciones de las que se acaba de hablar puede conseguirse
multiplicando una matriz que contenga los vértices por una matriz que describa
la transformación.
El canal de transformaciones
Para poder llevar a cabo todas las transformaciones de las
que se acaba de hablar, deben modificarse dos matrices: la matriz del Modelador
y la matriz de Proyección.
La matriz del
modelador
La matriz del modelador es una matriz 4x4 que representa el
sistema de coordenadas transformado que se está usando para colocar y orientar
los objetos.
La matriz de
proyección
La matriz de proyección especifica el tamaño y la forma del
volumen de visualización. El volumen de visualización es aquel cuyo contenido
es el que se representa en pantalla.
Proyecciones
ortográficas
Una proyección ortográfica es cuadrada en todas sus caras.
Esto produce una proyección paralela, útil para aplicaciones de tipo CAD o
dibujos arquitectónicos, o también para tomar medidas, ya que las dimensiones
de lo que representan no se ven alteradas por la proyección.
Proyecciones
perspectivas
Una proyección en perspectiva reduce y estirar los objetos
más alejados del observador. Es importante saber que las medidas de la
proyección de un objeto no tienen por qué coincidir con las del objeto real, ya
que han sido deformadas
VISUALIZACIÓN
DE OBJETOS
No cabe duda de que la representación
tridimensional del territorio abre nuevas posibilidades en el ámbito
geográfico. Pero el 3D por sí solo no está justificado. Las acciones para la
navegación por una escena tridimensional son más complejas que las necesarias
para la navegación en un plano. Cada aplicación de software ha resuelto de
manera distinta, la manera de controlar la elevación, rotación y cabeceo del
punto de vista, lo que requiere un aprendizaje por parte del usuario. Además,
el tiempo real de las escenas exige más cantidad de recursos, tanto de cálculo
como de datos.
La representación tridimensional es
conveniente cuando la visualización de una tercera
magnitud, típicamente la elevación del terreno, resulta útil para la
interpretación de los datos que se quieren mostrar. Se presentan a continuación
algunos de los usos más comunes.
GRAFICACION 2D
GRAFICACION 3D
PROYECCIONES
Existen dos métodos básicos para
proyectar objetos tridimensionales sobre una superficie de visión
bidimensional. Todos los puntos del objeto pueden proyectarse sobre la
superficie a lo largo de líneas paralelas o bien los puntos pueden proyectarse
a lo largo de las líneas que convergen hacia una posición denominada centro de
proyección. Los dos métodos llamados proyección en paralelo y proyección en
perspectiva, respectivamente, se ilustran. En ambos casos, la intersección de
una línea de proyección con la superficie de visión determinada las
coordenadas del punto proyectado sobre este plano de proyección. Por
ahora, se supone que el plano de proyección de visión es el plano z = 0 de un
sistema de coordenadas del izquierdo.
PROYECCIÓN EN PARALELO
Una proyección en paralelo preserva
dimensionar relativas de los objetos y esta es la técnica que se utiliza en
dibujo mecánico para producir trazos a escala de los objetos en las
dimensiones. Este método sirve para obtener vistas exactas de varios lados de
un objeto, pero una proyección en paralelo no ofrece una presentación realista
del aspecto de un objeto tridimensional.
Las vistas formadas con proyecciones
en paralelo se pueden caracterizar de acuerdo con el angulo que
la dirección de proyección forma con el plano
de proyección.
Cuando la dirección de proyección es perpendicular al
plano de proyección, se tiene una proyección ortogonal. Una proyección que
no es perpendicular al plano se denomina proyección oblicua.
PROYECCIÓN
ORTOGONAL
La Proyección ortogonal es
aquella cuyas rectas proyectantes auxiliares son perpendiculares al plano de
proyección (o a la recta de proyección), estableciéndose una relación entre
todos los puntos del elemento proyectante con los proyectados.
Existen diferentes tipos:
Vista A: Vista frontal o alzado
Vista B: Vista superior o planta
Vista C: Vista derecha o lateral derecha
Vista D: Vista izquierda o lateral izquierda
Vista E: Vista inferior
Vista F: Vista posterior
Las ecuaciones de transformación
parea efectuar una proyección paralela ortogonal son directas. Para cualquier
punto (x, y, z), el punto de proyección (Xp, Yp, Zp) sobre la superficie de
visión se obtiene como Xp=X, Yp=y, Xp=0.
PROYECCIÓN OBLICUA.
Es aquella cuyas rectas proyectantes
auxiliares son oblicuas al plano de proyección, estableciéndose una relación entre
todos los puntos del elemento proyectante con los proyectados.
Una proyección Oblicua se obtiene
proyectando puntos a lo largo de líneas paralelas que no son perpendiculares al
plano de proyección. La figura muestra una proyección oblicua de un punto
(x, y, z) por una línea de proyección a la posición (xp, Yp).
PROYECCIONES
PERSPECTIVA
Para
obtener una proyección en perspectiva de un objeto tridimensional, se proyectan
puntos a lo largo de líneas de proyección se interceptan en el de centro de
proyección.
En el
centro de proyección está en el eje z negativo a una distancia d detrás del
plano de proyección. Puede seleccionarse cualquier posición para el centro de
proyección, pero la elección de una posición a lo largo del eje z simplifica
los cálculos en las ecuaciones de transformación.
Podemos
obtener las ecuaciones de transformaciones de una proyección en perspectiva a
partir de las ecuaciones paramétricas que describen la línea de proyección de
esta línea.
X’ = x
–xu
Y’ = y-
yu
Z’ = z-(z
+ d) u
El parámetro u toma los valores de 0 a 1 y las coordenadas (x’, y’, z’) representan cualquier posición situada a lo largo de la línea de proyección. Cuando u = 0.
TRANSFORMACIONES TRIDIMENSIONALES
MÉTODO DE TRASLACIÓN
En una representación coordenada
homogénea tridimensional, un punto es trasladado (fig.11.1) de la posición (x,y,z)
a la posición (x’,y’,z’) con la Operación
matricial.
[x´,y´,z´,1]=[x, y, z, 1]
(11.1)
Los parámetros Tx, Ty, Tz, que
especifican distancias de traslación para las coordenadas, reciben la
asignación de cualquier valor real. La representación matricial de la
ecuación 11.1 es equivalente a las tres ecuaciones
x’ =x + Tx, y’ =
y + Ty, z’ =z + Tz
Un objetivo se traslada en tres
dimensiones transformando cada punto definidor del objeto. La traslación de un
objeto representada como un conjunto de superficies poligonales se efectúa
trasladando los valores coordenados para cada vértice de cada superficie. El
conjunto de posiciones coordenadas trasladadas de los vértices define entonces
la nueva posición del objeto.
MÉTODO DE ESCALACIÓN
Operación matricial.
[x´,y´,z´,1]=[x, y, z, 1]
Los parámetros de escalación
Sx, Sy, Sz, se les asigna asignación cualquier valor positivo.
Cuando la transformación 11-3 se
aplica para definir puntos en un objeto, el objeto se escala y se desplaza en
relación con el origen coordenado.
MÉTODO DE ROTACIÓN
Para especificar una transformación
de rotación de un objeto, se debe designar un eje de rotación (en torno al cual
se hará girar el objeto) y la cantidad de rotación angular. En aplicaciones
bidimensionales, el eje de rotación siempre es perpendicular al plano xy. En
tres dimensiones, un eje de rotación puede tener cualquier orientación
espacial.los ejes de rotación más fáciles de manejar son aquellos que son
paralelos a los ejes coordenados. Asimismo, podemos valernos de las rotaciones
en torno a los tres ejes coordenados con el fin de producir una rotación en
torno a cualquier eje de rotación especificado en forma arbitraria.
Las direcciones de rotación positivas
en torno a los ejes coordenados son en sentido contrario al del reloj, como se
observa a lo largo de la posición positiva de cada eje en dirección del origen.
Operación matricial de rotación en el
eje Z
El parámetro Ѳ especifica el ángulo de rotación.
[x´,y´,z´,1]=[x, y, z, 1]
Imagen que muestra la rotación de un objeto en torno al eje Z.
Operación matricial de rotación en el eje X
[x´,y´,z´,1]=[x, y, z, 1]
Operación matricial de rotación en el eje y
[x´,y´,z´,1]=[x, y, z, 1]
REPRESENTACIÓN EN UN GRÁFICA 3D DE LOS TRES MÉTODOS
ANTERIORES:
Líneas y Superficies Curvas
La necesidad de representar curvas y superficies proviene de
modelar objetos representar objetos reales. Normalmente no existe un modelo
matemático previo del objeto, y el objeto se aproxima con “pedazos” de planos,
esferas y otras formas simples de modelar, requiriéndose que los puntos del
modelo sean cercanos a los correspondientes puntos del objeto real.
La representación no paramétrica de una curva puede ser
implícita y = f(x) o bien explícita, f(x, y) = 0
La forma implícita no puede ser representada con curvas
multivaluadas sobre x, mientras que la forma explícita puede requerir utilizar
criterios adicionales para especificar la curva cuando la ecuación tiene más
soluciones de las deseadas.
De igual manera la representación paramétrica tiene la forma
P(t) = ( x(t), y(t) )T t1 <= t <= t2
La derivada o vector tangente es P’ (t) = ( x’(t), y’(t) )T
El parámetro t puede reemplazarse mediante operaciones de
cambio de variable, y frecuente se normaliza de modo que t1 = 0 y t2 = 1.
Aunque geométricamente la curva aparece equivalente, una operación de este tipo
normalmente modifica el comportamiento de la curva.
Bibliografia
http://graficacionporcomputadora.blogspot.mx/2013/05/3_3557.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1ficos_3D_por_computadora
http://serdis.dis.ulpgc.es/~ii-fgc/Tema%204%20-%20Transformaciones%203D.pdf
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